推理系统的四大性质
可靠性 (Soundness)
如果能够证明φ,那么φ必然为真
⊢ φ → ⊨ φ
推理系统中可证明的公式都是有效的,不会推导出假命题。
思政内涵: 理论联系实际,确保理论正确性
一致性 (Consistency)
不存在公式φ使得φ和¬φ同时可证
¬(⊢ φ ∧ ⊢ ¬φ)
推理系统内部不会产生矛盾,保持逻辑一致。
思政内涵: 思想统一,避免自相矛盾
完备性 (Completeness)
如果φ为真,那么φ必然可以被证明
⊨ φ → ⊢ φ
所有有效的公式都能在系统中被证明,不遗漏真理。
思政内涵: 全面发展,追求真理完备
哥德尔不完全定理
足够强的一致系统必然不完备
∃φ (⊭ φ ∧ ⊬ φ ∧ ⊬ ¬φ)
存在真命题无法在系统内证明,认识具有局限性。
思政内涵: 实践检验,认识无止境